Question

4．已知M為三角形ABC內(nèi)一點，且滿足2$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{0}$，若∠AMB=$\frac{3π}{4}$，∠AMC=$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{MB}$|=2$\sqrt{3}$，則|$\overrightarrow{MC}$|=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)線段BC的中點為E，由條件可得 $\overrightarrow{MA}$=-$\overrightarrow{ME}$，故A、M、E三點共線，∴∠BME=$\frac{π}{4}$，∠CME=$\frac{π}{3}$．△BME中和△CME中，分別應(yīng)用正弦定理可得MC的值．

解答 解：設(shè)線段BC的中點為E，則$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{ME}$，
根據(jù) 2$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{0}$，可得 $\overrightarrow{MA}$=-$\overrightarrow{ME}$，故A、M、E三點共線．
∵∠AMB=$\frac{3π}{4}$，∠AMC=$\frac{2π}{3}$，∴∠BME=$\frac{π}{4}$，∠CME=$\frac{π}{3}$．
△BME中，由正弦定理可得$\frac{MB}{sin∠BEM}$=$\frac{\frac{BC}{2}}{sin\frac{π}{4}}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{sin∠BEM}$=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$，即BC=$\frac{2\sqrt{6}}{sin∠BEM}$ ①．
△CME中，由正弦定理可得$\frac{MC}{sin（π-∠MEB）}$=$\frac{\frac{BC}{2}}{sin\frac{π}{3}}$，即$\frac{MC}{sin∠BEM}$=$\frac{BC}{\sqrt{3}}$，即BC=$\frac{\sqrt{3}MC}{sin∠BEM}$ ②．
由①②求得MC=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．