Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+1．
（Ⅰ）若對任意x∈[1，2]，使f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使f（x）＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，f（x）＞0恒成立轉化為函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞0恒成立，
討論a的取值范圍，求出滿足題意的a的取值范圍即可；
（Ⅱ）存在x∈[1，2]，使f（x）＞0成立，轉化為a＞1-x-$\frac{1}{x}$成立，即a＞（1-x-$\frac{1}{x}$）_min即可

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+1，其對稱軸方程為x=-$\frac{a-1}{2}$，
∴當-$\frac{a-1}{2}$＜1，即a＞-1時，f（x）在[1，2]上單調遞增，
其最小值為f（1）=a+1＞0，解得a＞-1滿足題意；
當1≤-$\frac{a-1}{2}$≤2，即-3≤a≤-1時，f（x）在[1，2]上的最小值為
f（-$\frac{a-1}{2}$）=1-$\frac{{（a-1）}^{2}}{4}$＞0，解得-1＜a＜3，不合題意，舍去；
當-$\frac{a-1}{2}$＞2，即a＜-3時，f（x）在[1，2]上單調遞減，
其最小值為f（2）=2a+3＞0，解得a＞-$\frac{3}{2}$，不合題意，舍去；
綜上，f（x）＞0恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是a＞-1；
（Ⅱ）存在x∈[1，2]，使f（x）＞0成立，
即x²+（a-1）x+1＞0；
∴（a-1）x＞-x²-1，
也就是a-1＞-x-$\frac{1}{x}$，
∴a＞1-x-$\frac{1}{x}$成立；
即a＞（1-x-$\frac{1}{x}$）_min，x∈[1，2]；
又當x=2時（1-x-$\frac{1}{x}$）_min=-$\frac{3}{2}$，
∴a＞-$\frac{3}{2}$；
∴a的取值范圍是a＞-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法以及二次函數(shù)的最值問題，也考查了轉化法與分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．