Question

9．下列命題正確的個(gè)數(shù)有（　　）
①若函數(shù)f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1處有極值10，則a=4，b=11或a=-3，b=-3；
②當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，則{a_n}是等比數(shù)列；
④若函數(shù)y=f（x+$\frac{3}{2}$）為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F（$\frac{3}{2}$，0）成中心對(duì)稱．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，然后由題設(shè)在x=1時(shí)有極值10可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=10}\\{f（1）=10}\end{array}\right.$，解之即可求出a和b的值，則可判斷①；
由0＜x＜1時(shí)，lnx+$\frac{1}{lnx}$＜0判斷②錯(cuò)誤；
由數(shù)列遞推式可得2a_n+1=a_n（n≥2），再由a₁=1求出${a}_{2}=\frac{3}{2}$說(shuō)明③錯(cuò)誤；
直接由函數(shù)圖象的平移說(shuō)明④正確．

解答 解：①若函數(shù)f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1處有極值10，
對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得 f′（x）=3x²+2ax-b，
又∵在x=1時(shí)f（x）有極值10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a-b=0}\\{f（1）=1+a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=7}\end{array}\right.$，故①錯(cuò)誤；
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$＜0，故②錯(cuò)誤；
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，
取n=n-1，得2S_n=S_n-1+4（n≥2），兩式作差得：2a_n+1=a_n（n≥2），
由S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，且a₁=1求得${a}_{2}=\frac{3}{2}$，則{a_n}不是等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤；
④若函數(shù)y=f（x+$\frac{3}{2}$）為R上的奇函數(shù)，則y=f（x+$\frac{3}{2}$）的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，
則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F（$\frac{3}{2}$，0）成中心對(duì)稱，故④正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是1個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了等比數(shù)列的判定方法，考查了函數(shù)圖象的平移，是中檔題．