Question

8．已知點F（1，0），點P為平面上的動點，過點P作直線l：x=-1的垂線，垂足為H，且$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FH}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線與軌跡C交于點A，B兩點，在A，B處分別作軌跡C的切線交于點N，求證：k_NF•k_AB為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則H（-1，y），通過向量的數(shù)量積求出動點P的軌跡C的方程．
（2）證明：設(shè)點M（x₀，y₀）（x₀≠0）為軌跡C上一點，直線m：y=k₀（x-x₀）+y₀為軌跡C的切線，聯(lián)立在與橢圓方程，利用判別式求出其判別式，求出${k_0}=\frac{2}{y_0}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：y=k（x-1），直線與拋物線方程，利用韋達定理求解斜率乘積即可．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則H（-1，y），有$\overrightarrow{HP}=（x+1，0），\overrightarrow{HF}=（2，-y），\overrightarrow{FP}=（x-1，y），\overrightarrow{FH}=（-2，y）$，
從而由題意$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FH}$．
得動點P的軌跡C的方程y²=4x．（4分）
（2）證明：設(shè)點M（x₀，y₀）（x₀≠0）為軌跡C上一點，
直線m：y=k₀（x-x₀）+y₀為軌跡C的切線，有$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y={k_0}（x-{x_0}）+{y_0}}\end{array}}\right.$，消去x得，${k_0}{y^2}-4y-4{k_0}{x_0}+{y_0}=0$，
其判別式△=16-4k₀（-4k₀x₀+4y₀）=0，解得${k_0}=\frac{2}{y_0}$，有$m：y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$*
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：y=k（x-1），聯(lián)立有$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，
消去x得，ky²-4y-4k=0，有${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，y₁•y₂=-4
根據(jù)*式有$NA：y=\frac{2}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，$NB：y=\frac{2}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，解得$N（-1，\frac{2}{k}）$，
從而${k_{NF}}•{k_{AB}}=\frac{{0-\frac{2}{k}}}{1+1}•k=-1$，為定值．（12分）

點評 本小題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到拋物線標準方程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及圓錐曲線中定值的求取．本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運算求解能力都有很高要求．