Question

11．在△ABC中，設(shè)AD為BC邊上的高，且AD=BC，b，c分別表示角B，C所對的邊長，則$\frac{c}$+$\frac{c}$的最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積為bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底與高乘積的一半表示三角形ABC的面積，兩者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，變形后，將表示出的sinA代入，得到2cosA+sinA，利用輔助角公式化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出最大值．

解答 解：∵BC邊上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}=\frac{1}{2}bcsinA$，
∴sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，又cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}（\frac{c}+\frac{c}-\frac{{a}^{2}}{bc}）$，
∴$\frac{c}+\frac{c}$=2cosA+sinA=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosA+sinA）=sin（α+A）≤$\sqrt{5}$，（其中sinα$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$），
∴$\frac{c}+\frac{c}$的最大值$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$

點評 本題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．