Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)椋?∞，+∞），滿(mǎn)足f（x+1）=2f（x-1），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=

4-x2-3x，x∈[0，1) logx，x∈[1，2)

，若x∈[-4，-2）時(shí)，f（x）≤

m

4

+

3

4m

恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（　�。�

• A、（-∞，0]∪[1，3）
• B、（0，1]∪[3，+∞）
• C、（0，1）∪[3，+∞）
• D、（0，1]∪（3，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：求出當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）值域是[0，4]，利用f（x+1）=2f（x-1），得出f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4），進(jìn)而x∈[-4，-2）時(shí)，f（x）∈[0，1]．f（x）≤

m

4

+

3

4m

恒成立，只需1≤

m

4

+

3

4m

，解此不等式求出m的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈（0，4]，當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈（0，ln2），
所以當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）值域是[0，4]，
在f（x+1）=2f（x-1）中，令x-1=t，則x+1=t+2，
所以f（t）=

1

2

f（t+2）=

1

4

f（t+4）
若x∈[-4，-2）時(shí)，則x+4∈[2，0）時(shí)，
于是f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）∈[0，1]．
若f（x）≤

m

4

+

3

4m

恒成立，只需1≤

m

4

+

3

4m

，
所以m＞0，且m²-4m+3≥0，
解得m∈（0，1]∪[3，+∞）．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)值域求解，不等式恒成立，考查轉(zhuǎn)化，計(jì)算邏輯推理能力．本題兩個(gè)要點(diǎn)：一是求出x∈[-4，-2）時(shí)，f（x）∈[0，1]．二是解f（x）_max≤

m

4

+

3

4m

．