【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是棱長為2的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC中點,若H為PD上的動點,EH與平面PAD所成最大角的正切值為 .
(1)當EH與平面PAD所成角的正切值為 時,求證:EH∥平面PAB;
(2)在(1)的條件下,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【答案】
(1)證明:連接AC,由題設知△ABC為正三角形,所以AE⊥BC,
又BC∥AD,因此AE⊥AD;
∵PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,
∴PA⊥AE
而PA平面PAD,AD平面PAD,且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD,
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,AE=
所以當AH最短時,∠EHA最大;
即當AH⊥PD時,∠EHA最大;
此時tan∠EHA= = = ,
因此AH= ,
又AD=2,∴∠ADH={45°}∴PA=2
∴H為PD的中點,
取PA的中點M,連接HM,MB,則HM= 且HM∥AD,DB= AD且DB∥AD,
∴HM∥DB且HM=DB
∴四邊形DHMB為平行四邊形
∴EH∥BM,
又BM平面PAB
∴EH∥平面PAB
(2)解:∵PA⊥面ABCD,PA平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABCD,
∵PB面PAB∴CM⊥PB,
∴PB⊥面CQM,∴ ,
∴△ABC為正三角形,∴點M為AB的中點,
∴ ,∴ ,
∴
【解析】(1)首先要證明AE⊥平面PAD,則∠EHA為EH與平面PAD所成的角;所以當AH最短時,∠EHA最大;即當AH⊥PD時,∠EHA最大;接著利用構(gòu)造平行四邊形法判定線面平行即可;(2)利用已知條件證明平面PAB⊥平面ABCD,PB⊥面CQM,所求二面角轉(zhuǎn)化到Rt△CQM中即可;
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設S為△ABC的面積,滿足S= (a2+b2﹣c2).
(1)求角C的大。
(2)求sinA+sinB的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知過點P(m,n)的直線l與直線l0:x+2y+4=0垂直. (Ⅰ)若 ,且點P在函數(shù) 的圖像上,求直線l的一般式方程;
(Ⅱ)若點P(m,n)在直線l0上,判斷直線mx+(n﹣1)y+n+5=0是否經(jīng)過定點?若是,求出該定點的坐標;否則,請說明理由.
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【題目】若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意,當時,總有,則稱函數(shù)為單調(diào)函數(shù),例如函數(shù)是單純函數(shù),但函數(shù)不是單純函數(shù),下列命題:
①函數(shù)是單純函數(shù);
②當時,函數(shù)在是單純函數(shù);
③若函數(shù)為其定義域內(nèi)的單純函數(shù), ,則
④若函數(shù)是單純函數(shù)且在其定義域內(nèi)可導,則在其定義域內(nèi)一定存在使其導數(shù),其中正確的命題為__________.(填上所有正確的命題序號)
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【題目】張先生知道清晨從甲地到乙地有好、中、差三個班次的客車.但不知道具體誰先誰后.他打算:第一輛看后一定不坐,若第二輛比第一輛舒服,則乘第二輛;否則坐第三輛.問張先生坐到好車的概率和坐到差車的概率分別是( )
A. 、
B. 、
C. 、
D. 、
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【題目】已知集合A={x|log2 ≤1},B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}.
(1)求集合A;
(2)若A∩B≠,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學季內(nèi),每售出盒該產(chǎn)品獲利潤元;未售出的產(chǎn)品,每盒虧損元.根據(jù)歷史資料,得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示,該同學為這個開學季購進了盒該產(chǎn)品,以(單位:盒, )表示這個開學季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.
(1)根據(jù)直方圖估計這個開學季內(nèi)市場需求量的中位數(shù);
(2)將表示為的函數(shù);
(3)根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率.
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【題目】已知△ABC,若存在△A1B1C1 , 滿足 = = =1,則稱△A1B1C1是△ABC的一個“友好”三角形.在滿足下述條件的三角形中,存在“友好”三角形的是:(請寫出符合要求的條件的序號) ①A=90°,B=60°,C=30°;②A=75°,B=60°,C=45°;③A=75°,B=75°,C=30°;④A=75°,B=65°,C=45°.
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