Question

7．如圖，點(diǎn)A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
（I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值；
（II）設(shè)點(diǎn)P為單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．若∠AOP=2θ，$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$表示|$\overrightarrow{OQ}$|，并求|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值．

Answer 1

分析 （I）直接利用三角函數(shù)的定義求出正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)值，即可cosα+sinα的值；
（II）設(shè)Pcos2θ，sin2θ，點(diǎn)Q滿足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．表示出表示|$\overrightarrow{OQ}$|，然后通過三角函數(shù)的值域求|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值．

解答 （本小題13分）
解：（Ⅰ）點(diǎn)A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
可得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，∴cosα+sinα=$-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）因?yàn)镻（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$=（1+cos2θ，sin2θ），
所以$\left|\overrightarrow{OQ}\right|$=$\sqrt{（1+cos2θ）^{2}+{sin}^{2}2θ}$=$\sqrt{2+2cos2θ}$=2|cosθ|，因?yàn)?\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$，
所以$\left|\overrightarrow{OQ}\right|$=2|cosθ|∈$[0，\sqrt{3}]$，
|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)最值的求法，考查計(jì)算能力．