Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）．
（1）記d_n=a_n+1-a_n，求證：{d_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由題意將遞推公式：a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）代入$\frac{xdjhhzn_{n+1}}{rh5tp55_{n}}$，化簡(jiǎn)后由等比數(shù)列的定義可得{d_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出d_n，即可求出a_n+1-a_n，利用累加法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），且d_n=a_n+1-a_n，
∴$\frac{5dvlblz_{n+1}}{d5ppx5t_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{\frac{3}{2}{a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，則d₁=a₂-a₁=$\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{d_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，d_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，則a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a₂-a₁=$\frac{1}{2}$，a₃-a₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₄-a₃=$\frac{1}{{2}^{3}}$，…，a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
以上（n-1）個(gè)式子相加得，
a_n-a₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=a₁+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式的化簡(jiǎn)，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．