Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形， ，AB⊥AD，AB∥CD，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)． （I）求證：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取PD中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH． 因?yàn)?M為 中點(diǎn)，所以 ．
因?yàn)? ．所以AB∥HM且AB=HM．
所以四邊形ABMH為平行四邊形，所以 BM∥AH．
因?yàn)?BM平面PAD，AH平面PAD，
所以BM∥平面PAD．
解：（Ⅱ） 取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．
因?yàn)?PA=PD，所以PO⊥AD．
因?yàn)?平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．取BC中點(diǎn)K，連結(jié)OK，則OK∥AB．
以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則 ， ．
平面BCD的法向量 ，
設(shè)平面PBC的法向量 ，
由 ，得 令x=1，則 ．
．
由圖可知，二面角P﹣BC﹣D是銳二面角，
所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取PD中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH．推導(dǎo)出四邊形ABMH為平行四邊形，從而B(niǎo)M∥AH，由此能證明BM∥平面PAD．（Ⅱ） 取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．