Question

動(dòng)圓C與定圓C₁：（x+3）²+y²=32內(nèi)切，與定圓C₂：（x-3）²+y²=8外切，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

9

2

）．
（1）求動(dòng)圓C的圓心C的軌跡方程和離心率；
（2）若軌跡C上的兩點(diǎn)P，Q滿足

AP

=5

AQ

，求|PQ|的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，算出點(diǎn)C到C₁、C₂的距離之和等于6

2

，再由橢圓的定義可得C點(diǎn)的軌跡是以C₁，C₂為焦點(diǎn)的橢圓，結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可得到所求軌跡方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)

AP

=5

AQ

解出x₁=5x₂且y₁=5y₂-18，根據(jù)PQ都在橢圓C上，聯(lián)解得出y₂=3，代入前面式子可得y₁=-3，且x₁=x₂=0，由此得出P、Q的坐標(biāo)，從而得到|PQ|的值．

解答：解：（1）如圖，設(shè)動(dòng)圓C的半徑為R，
則|CC1|=4

2

-R，…①
|CC2|=2

2

+R，…②
①+②得，|CC1|+|CC2|=6

2

＞6=|C1C2|，
由橢圓的定義，C點(diǎn)的軌跡是以C₁，C₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6

2

的橢圓，
可得軌跡方程為

x2

18

+

y2

9

=1，離心率為

2

2

．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

AP

=(x1，y1-

9

2

)，

AQ

=(x2，y2-

9

2

)．
∵

AP

=5

AQ

，∴(x1，y1-

9

2

)=5(x2，y2-

9

2

)，
可得x1=5x2，y1=5y2-

9

2

×5+

9

2

=5y2-18，…③
由P，Q是橢圓C上的兩點(diǎn)，
得

x12 18 + y12 9 =1 25x22 18 + (5y2-18)2 9 =1

，解出y₂=3
將y₂=3代入③，得y₁=-3，再將y₂=3代入④，得x₂=0，所以x₁=0，
∴P（0，-3），Q（0，3），可得|PQ|=6．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)圓與兩個(gè)定圓都相切，求圓心的軌跡方程并求滿足向量等式的P、Q的坐標(biāo)．著重考查了圓與圓的位置關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．