Question

動圓C與定圓C₁：（x+3）²+y²=32內(nèi)切，與定圓C₂：（x-3）²+y²=8外切，A點坐標(biāo)為（0，）．
（1）求動圓C的圓心C的軌跡方程和離心率；
（2）若軌跡C上的兩點P，Q滿足，求|PQ|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，算出點C到C₁、C₂的距離之和等于6，再由橢圓的定義可得C點的軌跡是以C₁，C₂為焦點的橢圓，結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可得到所求軌跡方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)解出x₁=5x₂且y₁=5y₂-18，根據(jù)PQ都在橢圓C上，聯(lián)解得出y₂=3，代入前面式子可得y₁=-3，且x₁=x₂=0，由此得出P、Q的坐標(biāo)，從而得到|PQ|的值．
解答：解：（1）如圖，設(shè)動圓C的半徑為R，
則，…①
，…②
①+②得，，
由橢圓的定義，C點的軌跡是以C₁，C₂為焦點，長軸長為的橢圓，
可得軌跡方程為，離心率為．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則．
∵，∴，
可得，…③
由P，Q是橢圓C上的兩點，
得，解出y₂=3
將y₂=3代入③，得y₁=-3，再將y₂=3代入④，得x₂=0，所以x₁=0，
∴P（0，-3），Q（0，3），可得|PQ|=6．
點評：本題給出動圓與兩個定圓都相切，求圓心的軌跡方程并求滿足向量等式的P、Q的坐標(biāo)．著重考查了圓與圓的位置關(guān)系、向量的坐標(biāo)運算和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．