Question

如圖所示的平面四邊形ABCD中，△ABD是以A為直角頂點的等腰直角三角形，△BCD為正三角形，且BD=4，AC與BD交于點O（如圖甲）．現(xiàn)沿BD將平面四邊形ABCD折成三棱錐A-BCD，使得折起后∠AOC=θ（0＜θ＜π）（如圖乙）．
（Ⅰ）證明：不論θ在（0，π）內(nèi)為何值，均有AC⊥BD；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為

8 3

3

時，求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件得在平面圖形中，AO⊥BD，CO⊥BD，從而折起后BD⊥平面AOC，進而BD⊥AC，由此能證明不論θ在（0，π）內(nèi)為何值，均有AC⊥BD．
（Ⅱ）由已知得平面AOC⊥平面BCD，AE是三棱錐A-BCD的高，從而當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為

8 3

3

時，sinθ=1，此時點E與點O重合，由已知條件得∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角，由此能求出二面角B-AD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵△ABD是以A為直角頂點的等腰直角三角形，△BCD為正三角形，
∴△ABC≌△ADC，∴AO既是等腰△ABD也是等邊△BCD的角平分線，也是高，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，…（2分）
由于在平面圖形中，AO⊥BD，CO⊥BD，
折起后這種關(guān)系不變，且AO∩CO=O，
∴折起后BD⊥平面AOC，…（4分）
又AC?平面AOC，故BD⊥AC，
即不論θ在（0，π）內(nèi)為何值，均有AC⊥BD．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD⊥平面AOC，又BD?平面BCD，
∴平面AOC⊥平面BCD，
過點A作AE⊥OC于點E，∵平面AOC∩平面BCD=OC，
∴AE⊥平面BCD，即AE是三棱錐A-BCD的高，
在Rt△AOE中，AE=AOsinθ=2sinθ，S△BCD=

1

2

×4×4×

3

2

=4

3

，
故三棱錐A-BCD的體積為V=

1

3

×4

3

×2sinθ=

8 3

3

sinθ，
當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為

8 3

3

時，sinθ=1，此時點E與點O重合．…（9分）
CO⊥平面ABD，過O點作OF⊥AD于點F，連接CF，
∵AD?平面ABD，∴AD⊥OC，又OF∩OC=O，
∴AD⊥平面OFC，∴AD⊥CF，則∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角．…（11分）
在Rt△OFC中，OF=

2

，OC=2

3

，∴CF=

14

，
∴cos∠OFC=

OF

CF

=

2

14

=

7

7

，
∴二面角B-AD-C的余弦值為

7

7

．…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、平面與平面的位置關(guān)系、簡單幾何體的體積、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等．