Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為60°，求：
（1）

a

在

b

方向上的投影；
（2）

c

=λ

a

+

b

與

d

=

a

+2

b

的夾角為銳角，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1利用向量投影的定義可得：

a

在

b

方向上的投影=|

a

|cos60°；
（2）利用數(shù)量積的定義可得

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos60°．由于

c

=λ

a

+

b

與

d

=

a

+2

b

的夾角為銳角，可得

c

•

d

＞0，且

c

與

d

不能同向共線．解出即可．

解答： 解：（1）∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為60°，∴

a

在

b

方向上的投影=|

a

|cos60°=1×

1

2

=

1

2

；
（2）

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos60°=1×2×

1

2

=1．
∵

c

=λ

a

+

b

與

d

=

a

+2

b

的夾角為銳角，
∴

c

•

d

＞0，且

c

與

d

不能同向共線．
由

c

•

d

＞0，可得(λ

a

+

b

)•(

a

+2

b

)=λ

a

2+2

b

2+(2λ+1)

a

•

b

=λ+8+（2λ+1）×1=3λ+9＞0，解得λ＞-3．
若

c

與

d

同向共線，則(λ

a

+

b

)•(

a

+2

b

)=|λ

a

+

b

||

a

+2

b

|，
∴3λ+9=

λ2+4+2λ

•

1+16+4

，解得λ=

1

2

．
∴λ的取值范圍是(-3，

1

2

)∪(

1

2

，+∞)．

點評：本題考查了向量投影的定義、數(shù)量積的定義、向量的夾角，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．