Question

18．若函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+3\;\;\;\;\;\;x＜2\\-6+{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\end{array}\right.$的值域為[-2，+∞），則實數a的取值范圍為[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．

Answer 1

分析 當x≥2時，f（x）=-6+2^x≥-2．當x＜2，f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，由此利用分尖討論思想能求出實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+3\;\;\;\;\;\;x＜2\\-6+{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\end{array}\right.$的值域為[-2，+∞），
當x≥2時，f（x）=-6+2^x≥-2．
當x＜2，f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當$\frac{a}{2}$=2時，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得-2$\sqrt{5}$≤a≤2$\sqrt{5}$，a=4∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]，故a=4成立；
當$\frac{a}{2}$＜2時，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得-2$\sqrt{5}$≤a＜4．
當$\frac{a}{2}$＞2時，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥（2-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得4＜a$≤\frac{9}{2}$．
綜上所述，實數a的取值范圍是[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．
故答案為：[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．

點評 本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．