Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，側(cè)面為正方形，平面平面.點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由題意易知和，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證，進(jìn)而平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原，分別以向量，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求出結(jié)果.

（1）連接，，因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，，所以為等邊三角形.而點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.

又平面平面，

所以平面，所以.

而四邊形為正方形，所以.

而，所以.

又因?yàn)?/span>，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原，分別以向量，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，.

，，

，所以.

又，，

所以.

設(shè)平面的法向量為，則，所以.

取，則，

.

設(shè)為直線與平面所成的角，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.