【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖所示的三角形（楊輝三角）解釋了二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．右邊的數(shù)字三角形可以看作當(dāng)n依次取0，1，2，3，…時(shí)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，相鄰兩斜線間各數(shù)的和組成數(shù)列．例：，，，…．

（1）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式（結(jié)果用組合數(shù)表示），無需證明；

（2）猜想，與的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

【答案】（1）；（2），證明詳見解析．

【解析】

（1）根據(jù)圖形可直接歸納出結(jié)論；

（2）先證明，猜想：，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式即可.

（1）

（2）先證明一個(gè)事實(shí)：對(duì)任意的，都有

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

．

所以對(duì)任意的，都有

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

猜想

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，

成立，

那么當(dāng)時(shí)

．

所以當(dāng)時(shí)．命題也成立．

綜上，對(duì)任意的，成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，側(cè)面為正方形，平面平面.點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上單調(diào)增，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，試判定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明過程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，斜三棱柱中，是邊長為2的正三角形，為的中點(diǎn)，平面，點(diǎn)在上，，為與的交點(diǎn)，且與平面所成的角為．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年新冠肺炎疫情暴發(fā)以來，中國政府迅速采取最全面、最嚴(yán)格、最徹底的防控舉措，堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢頭，努力把疫情影響降到最低，為全世界抗擊新冠肺炎疫情做岀了貢獻(xiàn)．為普及防治新冠肺炎的相關(guān)知識(shí)，某高中學(xué)校開展了線上新冠肺炎防控知識(shí)競答活動(dòng)，現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)者，他們的得分（滿分100分）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖：

（1）若此次知識(shí)競答得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)，分別為這200名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替），求，的值（，的值四舍五入取整數(shù)），并計(jì)算；

（2）在（1）的條件下，為感謝大家積極參與這次活動(dòng)，對(duì)參與此次知識(shí)競答的幸運(yùn)者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分低于的獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于的獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．假定每次抽獎(jiǎng)中，抽到18元紅包的概率為，抽到36元紅包的概率為．已知高三某同學(xué)是這次活動(dòng)中的幸運(yùn)者，記為該同學(xué)在抽獎(jiǎng)中獲得紅包的總金額，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算舉辦此次活動(dòng)所需要抽獎(jiǎng)紅包的總金額．

參考數(shù)據(jù)：；；．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面，它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成．如圖2，路面寬度，下部支撐箱CDEF為等腰梯形（），且．為了保證承重能力與穩(wěn)定性，需下部支撐箱的面積為，高度為2m且，若路面AB．側(cè)邊CF和DE，底部EF的造價(jià)分別為4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a為正常數(shù)），．

（1）試用θ表示箱梁的總造價(jià)y（千元）；

（2）試確定cosθ的值，使總造價(jià)最低?并求最低總造價(jià)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在長方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，，.動(dòng)點(diǎn)在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線與所成角的正切值的最大值為（ ）

A.B.C.D.2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校擬從甲、乙兩名同學(xué)中選一人參加疫情知識(shí)問答競賽，于是抽取了甲、乙兩人最近同時(shí)參加校內(nèi)競賽的十次成績，將統(tǒng)計(jì)情況繪制成如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下面結(jié)論正確的是（ ）

A.甲、乙成績的中位數(shù)均為7

B.乙的成績的平均分為6.8

C.甲從第四次到第六次成績的下降速率要大于乙從第四次到第五次的下降速率

D.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為6，正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AD，BC平行于x軸，AB、CD平行于y軸，頂點(diǎn)P在z軸的正半軸上，點(diǎn)M、N分別在PA，BD上，且.

（1）若，求直線MN與PC所成角的大��；

（2）若二面角A-PN-D的平面角的余弦值為，求λ的值.

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