Question

已知函數(shù)f（x）=log 

1

2

ax-2

x-1

（a為常數(shù)）．
（1）若常數(shù)0＜a＜2，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間（2，4）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合a的取值范圍求不等式

ax-2

x-1

＞0的解集；
（2）利用換元法討論函數(shù)的單調(diào)性從而求最值．

解答： 解：（1）由

ax-2

x-1

＞0，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，解得x＜1或x＞

2

a

，
故當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜1或x＞

2

a

}
（2）令u=

ax-2

x-1

，因?yàn)閒（（x）log 

1

2

u為減函數(shù)，故要使f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，
u=

ax-2

x-1

=a+

a-2

x-1

在（2，4）上為增函數(shù)且為正值．
故有

a-2＜0 umi＞u(2)= 2a-2 2-1

≥0，
∴1≤a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域和函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．