Question

7．已知cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，則$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 法一、由已知求出sin（$α+\frac{π}{4}$）=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$．然后利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦求得分子，利用兩角和的正弦求得分母，則答案可求；
法二、把要求值的式子分子展開二倍角余弦，約分后利用兩角和的余弦化積，則答案可求．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sin（$α+\frac{π}{4}$）=$±\frac{\sqrt{14}}{4}$．
當(dāng)sin（$α+\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$時(shí)，
∴cos2α=sin（2α+$\frac{π}{2}$）=2sin（$α+\frac{π}{4}$）cos（$α+\frac{π}{4}$）=2×$（-\frac{\sqrt{14}}{4}）×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$-\frac{\sqrt{7}}{4}$，
sinα+cosα=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{14}}{4}）$=$-\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{1}{2}$；
當(dāng)sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{14}}{4}$時(shí)，
∴cos2α=sin（2α+$\frac{π}{2}$）=2sin（$α+\frac{π}{4}$）cos（$α+\frac{π}{4}$）=2×$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
sinα+cosα=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{1}{2}$．
綜上，$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{2}$；
法二、$\frac{cos2α}{sinα+cosα}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{cosα+sinα}$=$\frac{（cosα+sinα）（cosα-sinα）}{cosα+sinα}$
=cosα-sinα=$\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活變形能力，是基礎(chǔ)題．