Question

如圖，A₁，A為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過線段OA上異于O，A的任一點(diǎn)K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點(diǎn)，直線A₁P與AP₁交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線上．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)圖形，確定幾何量，即可寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線A₁P，P₁A的方程，求出直線A₁P與AP₁的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，驗(yàn)證即可．
解答：（Ⅰ）解：由圖可知，a=5，c=4，∴．
該橢圓的方程為，
準(zhǔn)線方程為．
（Ⅱ）證明：設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo)（x，0），點(diǎn)P、P₁的坐標(biāo)分別記為（x，y），（x，-y），其中0＜x＜5，則，…①
直線A₁P，P₁A的方程分別為：（x+5）y=y（x+5），…②
（5-x）y=y（x-5）．…③
②式除以③式得，化簡(jiǎn)上式得，代入②式得，
于是，直線A₁P與AP₁的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125635740329731/SYS201310251256357403297017_DA/9.png">．
所以，直線A₁P與AP₁的交點(diǎn)M在雙曲線上．
點(diǎn)評(píng)：本小主要考查直線、橢圓和雙曲線等基本知識(shí)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．