Question

3．已知點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），在拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上，點(diǎn)M，N在拋物線C上，且位于x軸的兩側(cè)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=3，則點(diǎn)A到動(dòng)直線MN的最大距離為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的準(zhǔn)線方程，由題意解得p=1，設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3，消元，最后可得定點(diǎn)D坐標(biāo)，連接AD，當(dāng)AD⊥MN，有點(diǎn)A到動(dòng)直線MN的距離最大，由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到．

解答 解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意得-$\frac{p}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得p=1．
即有拋物線方程為y²=2x，
設(shè)直線MN的方程為：x=ty+m，點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線MN與x軸的交點(diǎn)為D（m，0），
x=ty+m代入y²=2x，可得y²-2ty-2m=0，
根據(jù)韋達(dá)定理有y₁•y₂=-2m，
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=3，從而$\frac{1}{4}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂-3=0，
∵點(diǎn)M，N位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-6，故m=3．
當(dāng)y=0時(shí)，x=3恒成立，
故直線MN所過的定點(diǎn)坐標(biāo)是D（3，0），
當(dāng)直線MN繞著定點(diǎn)D（3，0）旋轉(zhuǎn)時(shí)，AD⊥MN，
即有點(diǎn)A到動(dòng)直線MN的距離最大，且為$\sqrt{（3+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 求解本題時(shí)，應(yīng)考慮聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，再由觀察可得點(diǎn)到直線的距離的最大，這是處理此類問題的常見模式．