Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求當(dāng)x∈[0，

4

3

]時(shí)，y=g（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）f（x）解析式第一項(xiàng)利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）在y=g（x）的圖象上任取一點(diǎn)（x，g（x）），根據(jù)f（x）與g（x）關(guān)于直線x=1對稱，表示出此點(diǎn)的對稱點(diǎn)，根據(jù)題意得到對稱點(diǎn)在f（x）上，代入列出關(guān)系式，整理后根據(jù)余弦函數(shù)的定義域與值域即可確定出g（x）的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

（

1

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），
∵ω=

π

4

，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

π 4

=8；
（2）在y=g（x）的圖象上任取一點(diǎn)（x，g（x）），它關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)（2-x，g（x）），
由題設(shè)條件，點(diǎn)（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
從而g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

（2-x）-

π

3

]=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]=

3

cos（

π

4

x+

π

3

），
當(dāng)0≤x≤

3

4

時(shí)，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

，
則y=g（x）在區(qū)間[0，

4

3

]上的最大值為g_max=

3

cos

π

3

=

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．