Question

橢圓的兩個焦點坐標分別為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且橢圓過點（1，-

3

2

）．
（1）求橢圓方程；
（2）過點（-

6

5

，0）作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點，A為橢圓的左頂點，求證：∠MAN=

π

2

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．根據橢圓的兩個焦點坐標分別為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且橢圓過點（1，-

3

2

）．可得

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）設直線MN的方程為x=ky-

6

5

，與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，只要證明

AM

•

AN

=0即可．

解答： 解：（1）由題意可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵橢圓的兩個焦點坐標分別為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且橢圓過點（1，-

3

2

）．
∴

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得c=

3

，b²=1，a²=4．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．
（2）證明：設直線MN的方程為x=ky-

6

5

，
聯立

x=ky- 6 5 x2+4y2=4

，
得（k²+4）y²-

12

5

ky-

64

25

=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
y₁y₂=-

64

25(k2+4)

，y₁+y₂=

12k

5(k2+4)

，
則

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（k²+1）y₁y₂+

4

5

k（y₁+y₂）+

16

25

=0，
即可得∠MAN=

π

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程與性質、直線與橢圓相交問題轉化方程聯立可得根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．