Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，D、E分別是A₁C₁、AB₁的中點，且三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，若AB=AC=1，∠CAB=90°，球O的半徑為

2

，則異面直線AA₁與DE所成的角為（　�。�

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、75°

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：由三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，若AB=AC=1，∠CAB=90°，球O的半徑為

2

，計算側(cè)棱長，取A₁B₁的中點F，連接DF、EF，EF∥AA₁，∠DEF即則異面直線AA₁與DE所成的角．

解答： 解：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，∠CAB=90°，∴球心O在面BCC₁B₁的中心，球O的半徑為

2

，∴BC₁=2

2

，∴AB=AC=1，∠CAB=90°，∴BC

2

，CC₁=

6

，
取A₁B₁的中點F，連接DF、EF，EF∥AA₁，∠DEF即則異面直線AA₁與DE所成的角，在Rt△DEF中，EF=

1

2

AA₁=

1

2

CC₁=

6

2

，DF=

1

2

AB=

2

2

，∴tan∠DEF=

DF

EF

=

3

3

，∴，∠DEF=30°
故選A．

點評：本題考查異面直線所成的角，考查空間想象能力，計算能力．