Question

15．已知命題：
①如果對(duì)于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$；
②命題“?x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x+1＜0”；
③在△ABC中，sinA＞sinB的充要條件是A＞B；
④函數(shù)$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$在$[{0，\frac{π}{6}}]$上為增函數(shù)．
以上命題中正確的是①（填寫所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①構(gòu)造新函數(shù)利用單調(diào)性求解；②存在性命題的否定是結(jié)論要否；③在三角形中充分考慮角度的正弦變化情況；④先求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，看看是否含有所給區(qū)間．

解答 解：①n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立?（n+1）a≥-n²+4n-3=-（n+1）²+6（n+1）-8恒成立，
∵n∈N^*，
∴a≥-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$+6恒成立，
∴a≥[-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$]_max+6恒成立；
∵函數(shù)g（n）=（n+1）+$\frac{8}{n+1}$在[1，2$\sqrt{2}$-1]上單調(diào)遞減，在[2$\sqrt{2}$-1，+∞）上單調(diào)遞增，又n∈N^*，
g（1）=2+4=6，g（2）=3+$\frac{8}{3}$＜g（3）=6，
∴g（n）_min=g（2）=$\frac{17}{3}$，[-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$]_max=-g（n）_min=-$\frac{17}{3}$，
∴m＞-$\frac{17}{3}$+6=$\frac{1}{3}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，+∞），故①對(duì)．
②命題“?x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x+1≥0”故②錯(cuò)；
③在△ABC中，A＞B，例如A=120°，B=60°，但是sinA=sinB．故③錯(cuò)；
④2kπ-$\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$；
∴kπ-$\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$
∴函數(shù)得增區(qū)間為[$kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}$]，故④錯(cuò)；
故答案為：①

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查簡(jiǎn)易邏輯，考查的知識(shí)點(diǎn)多種需要較好的基礎(chǔ)功底，常考題型．