Question

已知函數(shù)f(x)=

a+lnx

x

在x=1處取得最大值，g（x）=（x+1）f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）如果當x≥1時，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，并求出函數(shù)g（x）的最值；
（Ⅲ）求證：[（n+1）!]²＞e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)取得極值和最值的條件，建立方程關系即可，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，并求出函數(shù)g（x）的最值；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導數(shù)，利用放縮法即可證明[（n+1）!]²＞e^n-2（n∈N^*）．

解答： 解：（I）由題意得：f′(x)=

1-a-lnx

x2

；令1-a-lnx=0，即x=e^1-a；
∴當x∈（0，e^1-a），f′（x）＞0；x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）在x=e^1-a處有極大值；
∴e^1-a=1⇒a=1；函數(shù)f（x）解析式f(x)=

1+lnx

x

，
（II）由（I）得g(x)=

(1+x)(1+lnx)

x

；x∈[1，+∞)，
∴g′(x)=

x2-lnx+1

x2

，令h（x）=x²-lnx+1
發(fā)現(xiàn)當x∈[1，+∞）時，h（x）＞0；
∴函數(shù)g（x）x∈[1，+∞）在單調(diào)遞增；
故存在最小值為：g（1）_min=2．
（III）由（II）得g(x)＞

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

令x=n（n+1），則ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln(1×2)＞1-

2

1×2

，ln(3×4)＞1-

2

3×4

ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

；
疊加可得：ln[1×22×32×n2×(n+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+

1

n(n+1)

]
=n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

＞n-2（不等式性質(zhì)傳遞性）
則1×2²×3²×n²×（n+1）²＞e^n-2．
故[（n+1）!]²＞（n+1）×e^n-2（n∈N^*）．

點評：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識，利用函數(shù)單調(diào)性和極值與導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．