Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，點B滿足

BF1

=

F1F2

且

AB

•

AF2

=0．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）P是過A、B、F₂三的圓上的點，若△AF₁F₂的面積為

3

，求P到直線l：x-

3

y-3=0距離的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），

AF2

⊥

AB

，得x0=-

b2

c

，由此能示出橢圓離心率．
（Ⅱ）由

e= c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3 a2=b2+c2

，得a=2，b=

3

，由此求出△ABF的外接圓圓心為F₁（-1，0），半徑r=2，F(xiàn)₁（-1，0）到直線l的距離為d=2，由此能求出P到直線l：x-

3

y-3=0距離的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），
得

AF2

=（c，-b），

AB

=（x₀，-b），
∵

AF2

⊥

AB

，∴cx₀+b²=0，x0=-

b2

c

，
∵

BF1

=

F1F2

，即F₁為BF₂中點，∴-

b2

c

+c=-2c，
∴b²=3c²=a²-c²，
∴橢圓離心率e=

1

2

．
（Ⅱ）由

e= c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴△ABF的外接圓圓心為F₁（-1，0），半徑r=2，
∵F₁（-1，0）到直線l的距離為d=

|-1-0-3|

1+3

=2，
∴P到直線l：x-

3

y-3=0距離的最大值為d+r=4．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．