Question

10．已知實數(shù)a，b，c滿足a²+b²+c²=3．
（Ⅰ）求證a+b+c≤3；
（Ⅱ）求證$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}≥3$．

Answer 1

分析 （I）由于（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，利用基本不等式的性質(zhì)即可證明；
（II）由于（a²+b²+c²）$（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}）$=3+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}+\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 證明：（I）∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（b²+c²）+（a²+c²）=3（a²+b²+c²）=9．
∴a+b+c≤3；
（II）∵（a²+b²+c²）$（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}）$=3+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}+\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$=3+$（\frac{{a}^{2}}{^{2}}+\frac{^{2}}{{a}^{2}}）$+$（\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）$+$（\frac{^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{^{2}}）$≥$3+2\sqrt{\frac{{a}^{2}}{^{2}}•\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{^{2}}{{c}^{2}}•\frac{{c}^{2}}{^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}•\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=9．當(dāng)且僅當(dāng)a²=b²=c²=1時取等號．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$≥3

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．