Question

13．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₂與a₁₀的等差中項(xiàng)是-2，且a₁a₆=14    
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)f（n）=$\frac{2{S}_{n}-2{a}_{n}}{n}$（n∈N^*），求f（n）最小值及相應(yīng)的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出a₁、公差d，代入通項(xiàng)公式求出a_n；
（Ⅱ）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，代入f（n）=$\frac{2{S}_{n}-2{a}_{n}}{n}$（n∈N^*），化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出f（n）最小值及相應(yīng)的n的值．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂與a₁₀的等差中項(xiàng)是-2，
∴a₆=$\frac{1}{2}$（a₂+a₁₀）=-2，
∵a₁•a₆=14，∴a₁=-7，
∴公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{1}}{6-1}$=1，
則a_n=-7+（n-1）=n-8．
（Ⅱ）∵a₁=-7，a_n=n-8，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{15n}{2}$
∴$\frac{2{S}_{n}-2{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-15n-2（n-8）}{n}$=n+$\frac{16}{n}$-17≥2$\sqrt{16}$-17=-9，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{16}{n}$，即n=4時(shí)取等號(hào)，
故當(dāng)n=4時(shí)，所求最小值為-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．