Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且滿足AD=DC=CB=

1

2

AB=a，在直角梯形ACEF中，EF∥

1

2

AC，∠ECA=90°，已知二面角E-AC-B是直二面角．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)CG，證明BC⊥AF，只需證明BC⊥平面ACEF，證明AC⊥BC，利用二面角E-AC-B是直二面角，即可證明；
（Ⅱ）連結(jié)DG交AC于H，連結(jié)FH，證明DH⊥面ACEF，利用V_D-ACEF+V_B-ACEF，求出多面體ABCDEF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)CG．由底面ABCD是梯形，知DC∥AG．
又∵DC=

1

2

AB=AG=a，
∴四邊形ADCG是平行四邊形，得AD=CG=a，
∴CG=

1

2

AB．
∴AC⊥BC．
又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ACEF．
∴BC⊥AF．…（6分）
（Ⅱ）解：連結(jié)DG交AC于H，連結(jié)FH．
∵平面ACEF⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知BC⊥面ACEF，DH∥BC，
∴DH⊥面ACEF．
即BC、DH分別是四棱錐B-ACEF、D-ACEF的高．
在Rt△ACB中，AC=

4a2-a2

=

3

a，EF=

3

2

a．
由EF∥

1

2

AC∥CH，且∠ACE=90°，知四邊形HCEF是矩形，
∴FH∥EC，于是FH⊥AH．
在Rt△FAH中，CE=FH=

AF2-AH2

=

a2-( 3 2 a)2

=

1

2

a．
∴S四邊形ACEF=

1

2

(EF+AC)•CE=

1

2

(

3

2

a+

3

a)•

a

2

=

3 3 a2

8

，
∴V=V_D-ACEF+V_B-ACEF=

1

3

×

3 3 a2

8

×a+

1

3

×

3 3 a2

8

×

a

2

=

3 3

16

a3．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，線線垂直，考查空間角，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．