Question

設(shè)f（x）=cosx+

x2

2

-1．
（Ⅰ）求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0；
（Ⅱ）若a∈R，證明：當(dāng)a≥1時(shí)，e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（x）=cosx+

x2

2

-1，（x≥0），則f′（x）=x-sinx，設(shè)h（x）=x-sinx，則h′（x）=1-cosx，得f′（x）為增函數(shù)，從而f（x）在x≥0時(shí)為增函數(shù)，得f（x）≥f（0）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x≥0時(shí)，sinx≤x，cosx≥-

x2

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+1，得

x2

2

+x+1≥sinx-cosx+2，設(shè)G（x）=e^x-

x2

2

-x-1，則G′（x）=e^x-x-1，設(shè)g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1，從而G（x）為增函數(shù)，進(jìn)而G（x）≥G（0）=0，即e^x≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．又x≥0，a≥1時(shí)，e^ax≥e^x，從而a≥1時(shí)，e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．

解答： （Ⅰ）證明：∵f（x）=cosx+

x2

2

-1，（x≥0），
則f′（x）=x-sinx，
設(shè)h（x）=x-sinx，則h′（x）=1-cosx，
當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）=1-cosx≥0，即f′（x）為增函數(shù)，
所以f′（x）≥f′（0）=0，
即f（x）在x≥0時(shí)為增函數(shù)，
所以f（x）≥f（0）=0；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x≥0時(shí)，sinx≤x，cosx≥-

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+1，
∴

x2

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+x+1≥sinx-cosx+2，
設(shè)G（x）=e^x-

x2

2

-x-1，則G′（x）=e^x-x-1，
設(shè)g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x≥0時(shí)，g′（x）=e^x-1≥0，
∴g（x）=e^x-x-1為增函數(shù)，
∴g（x）≥g（0）=0，
∴G（x）為增函數(shù)，
∴G（x）≥G（0）=0，
∴e^x≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．
又x≥0，a≥1時(shí)，e^ax≥e^x，
∴a≥1時(shí)，e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．