Question

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線 的極坐標(biāo)方程為．

（1）若曲線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；

（2）， 為曲線上的兩點(diǎn)，且，求△的面積最大值．

Answer 1

【答案】(1)a=1;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程可得曲線是以為圓心，以為半徑的圓，再將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)曲線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，由圓心到直線的距離等于半徑，即可求得的值；（2）法一：由題意，曲線的極坐標(biāo)方程為設(shè)的極角為， 的極角為，即可表示出，根據(jù)積化和差公式及三角函數(shù)圖象即可求得△的面積最大值；法二：根據(jù)曲線是圓及，利用正弦定理可得，再根據(jù)余弦定理與基本不等式即可求得的最大值，從而可得△的面積最大值.

試題解析：（1）由題意可得曲線是以為圓心，以為半徑的圓；

直線的直角坐標(biāo)方程為.

由直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則可得.

∴（舍）或

∴

（2）法一：由題意，曲線的極坐標(biāo)方程為.

設(shè)的極角為， 的極角為，則：

∵

∴當(dāng)時(shí)， 取得最大值為.

∴的面積最大值為．

法二：∵曲線是以為圓心，以為半徑的圓，且.

∴由正弦定理得： ，即.

∴由余弦定理得： ，則： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

∴的面積最大值為．