Question

已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O₁，O₂，O₃，令

HA

=

a

，

HB

=

b

，

HC

=

c

，

HO1

=

p

，求證：
（1）2

p

=

b

+

c

-

a

；
（2）H為△O₁O₂O₃的外心．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義,三角形五心

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）作出△ABC的外接圓圓心O，取BC的中點(diǎn)M，連接OM，HO，設(shè)HO交AM與點(diǎn)G，證明G為△ABC的重心，
利用重心與A、B、C的關(guān)系，求出

OH

與

OG

的關(guān)系式，證出2

HO1

=

HB

+

HC

-

HA

即可；
（2）證明點(diǎn)O是△O₁O₂O₃的垂心，再證明

HO

=

HO1

+

HO2

+

HO3

，即得點(diǎn)H為△O₁O₂O₃的外心．

解答： 解：（1）證明：如圖所示，
設(shè)O是△ABC的外接圓的圓心，取BC的中點(diǎn)M，連接OM，HO，
設(shè)HO交AM與點(diǎn)G，則

AG

GM

=

AH

OM

=2，
∴G為△ABC的重心，
∴

OG

=

OA + OB + OC

3

；
又

GH

OG

=

AH

OM

=2，
∴

OH

=3

OG

=

OA

+

OB

+

OC

；
又∵A、B、C、H為垂心四點(diǎn)組，
即H為△ABC的垂心，A為△HBC的垂心，B為△HCA的垂心，C為△HAB的垂心；
∴在△HBC中，O₁為△HBC的外心，A為垂心，
∴

O1A

=

O1H

+

O1B

+

O1C

，（*）
其中

O1A

=

O1H

+

HA

，

O1B

=

O1H

+

HB

，

O1C

=

O1H

+

HC

；
代入（*）中整理得，2

O1H

=

HA

-

HB

-

HC

，
即2

HO1

=

HB

+

HC

-

HA

，
∴2

p

=

a

+

b

-

c

；
（2）證明：∵O₂O₃是AH的中垂線，
∴點(diǎn)O是△O₁O₂O₃的垂心，
現(xiàn)在證明

HO

=

HO1

+

HO2

+

HO3

，
由（1）知，2

HO1

+2

HO2

+2

HO3

=

HA

+

HB

+

HC

=3

HO

+（

OA

+

OB

OC

）
=3

HO

+

OH

=2

HO

，
∴

HO

=

HO1

+

HO2

+

HO3

，
即點(diǎn)H為△O₁O₂O₃的外心．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角形的四心問(wèn)題的應(yīng)用題目，是較難的題目．