Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中各棱長都有為a，底面ABCD是正方形，頂點A₁在平面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心O．
（1）求證：A₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求平行六面體的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得BD⊥AC，BD⊥A₁O，A₁C⊥C₁C，從而BD⊥A₁C，由此能證明A₁C⊥平面BDD₁B₁．
（2）由已知得A₁O⊥AC，A₁O⊥BD，從而A₁O⊥平面ABCD，且A₁O=

2

a，S_{正方形ABCD}=a²．由此能求出平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

解答： （1）證明：∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中各棱長都有為a，
底面ABCD是正方形，
頂點A₁在平面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心O，
∴BD⊥AC，且BD=AC=A₁C₁=

2

a，O是AC中點，
A₁C=A₁A=CC₁=a，
∴BD⊥A₁O，A₁C⊥C₁C，
∴BD⊥平面AA₁C，∴BD⊥A₁C，
又A₁C∩C₁C=C，∴A₁C⊥平面BDD₁B₁．
（2）解：由（1）知A₁O⊥AC，同理A₁O⊥BD，
∴A₁O⊥平面ABCD，且A₁O=

2

a，
S_{正方形ABCD}=a²．
∴平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積：
V=S_{正方形ABCD}•A₁O=a²•

2

a=

2

a3．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平行六面體的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．