Question

曲線C是平面內(nèi)到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數(shù)k²（k＞0）的點(diǎn)的軌跡，設(shè)曲線C的軌跡方程f（x，y）=0．
（1）求曲線C的方程f（x，y）=0
（2）定義：若存在圓M使得曲線f（x，y）=0上的每一點(diǎn)都落在圓M外或圓M上，則稱圓M為該曲線的收斂圓，判斷曲線f（x，y）=0是否存在收斂圓？若存在，求出其方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）利用題意及點(diǎn)到直線間的距離公式列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程，再化簡(jiǎn)即可；
（2）根據(jù)不等式得：（x+1）²+（y-1）²≥2|x+1||y-1|=2k²（k＞0），再轉(zhuǎn)化為幾何意義，根據(jù)收斂圓的定義即可判斷曲線f（x，y）=0存在收斂圓，并求出收斂圓的方程．

解答： 解：（1）由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
因?yàn)榈街本�l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數(shù)k²（k＞0），
所以|x+1||y-1|=k²，
則曲線C的方程是：|x+1||y-1|=k²（k＞0）；
（2）因?yàn)椋▁+1）²+（y-1）²≥2|x+1||y-1|=2k²（k＞0），
所以點(diǎn)P（x，y）在圓（x+1）²+（y-1）²=2k²外或上，
則曲線f（x，y）=0存在收斂圓為：（x+1）²+（y-1）²=2k²（k＞0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用直接法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，點(diǎn)到圓的位置關(guān)系，以及不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．