Question

4．如圖，池塘的邊緣為曲線段OMB，它可以近似看成是函數(shù)f（x）=x²在0≤x≤6的圖象，BA垂直于x軸于點(diǎn)A，現(xiàn)要建一個(gè)以A為直角的觀光站臺(tái)△APQ，其中斜邊PQ與曲線段OMB相切于點(diǎn)M（t，t²），切線PQ交x軸于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)Q，圖中的陰影部分種植草坪．
（1）將△QAP的面積表達(dá)為t的函數(shù)；
（2）求草坪的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，從而求出△QAP的面積；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的極大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x，所以過點(diǎn)M的切線的斜率為k=f′（t）=2t，…（1分）
由點(diǎn)斜式得切線PQ方程為y-t²=2t（x-t），即y=2tx-t²…①…（2分）
S_△QAP=$\frac{1}{2}$|AP|•|AQ|=$\frac{1}{2}$（6-x_p）•y_Q…②
對(duì)①令x=6得y_Q=12t-t²…③…（3分）
令y=0，得x_p=$\frac{t}{2}$…④…（4分）
③④代入②得S_△QAP=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{t}{2}$）•（12t-t²）=$\frac{1}{4}$t³-6t²+36t．…（5分）
（2）S′_AQAP=$\frac{3}{4}$t²-12t+36，…（6分）
令S′_△QAP=0，解得t=4或t=12（舍去）…（7分）

T	（0，4）	4	（4，6）
s′	+	0	-
s	增	極大值64	減

…（10分）
所以當(dāng)t=4時(shí)S_△QAP有極大值64，
所以當(dāng)t=4時(shí)，△QAP的面積的最大值為64．…（11分）
又${∫}_{0}^{6}$x²dx=72．…（12分）
故草坪的面積的最小值為72-64=8．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、均值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．