Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n-3．
（I）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a_n+1-1=4（an-1），a₁-1=2，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，并能求出an=2×4n-1+1．
（Ⅱ）由已知條件利用分組求和法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n-3，
∴a_n+1-1=4（an-1），a₁-1=2，
∴

an+1-1

an-1

=4，
∴數(shù)列{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，…（4分）
∴an-1=2×4n-1，
∴an=2×4n-1+1．…（6分）
（Ⅱ）解：Sn=2+2×4+2×42+…+2×4n-1+n=

2×(1-4n)

1-4

+n=

2

3

×(4n-1)+n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．