Question

15．對于實數(shù)a，b，定義運算“△”；a△b=（a-b）²，已知實數(shù)x₁，x₂滿足y=$\sqrt{（{x}_{1}△{x}_{2}）+（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）△\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$，則y的最小值為$\sqrt{2\sqrt{2}+2}-1$．

Answer 1

分析 化簡y=$\sqrt{（{x}_{1}△{x}_{2}）+（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）△\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）-\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}）^{2}}$，其表示了點A（x₁，${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$）的距離；作函數(shù)圖象求解即可．

解答 解：由題意，
y=$\sqrt{（{x}_{1}△{x}_{2}）+（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）△\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）-\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}）^{2}}$，
其表示了點A（x₁，${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$）的距離；
作函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$與函數(shù)y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象如下，

設(shè)切點為（x，x+$\frac{1}{x}$），
故（$\frac{x+\frac{1}{x}}{x}$）•（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=-1；
故x=$\root{4}{\frac{1}{2}}$，故y=$\sqrt{2\sqrt{2}+2}-1$；
故答案為：$\sqrt{2\sqrt{2}+2}-1$．

點評 本題考查了函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及最值的求法，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．