Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+2ax²+3x+1
（1）若a=-$\sqrt{2}$，求f（x）在區(qū)間[0，3]上值域；
（2）若x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求值域；
（2）由題意可得-2a≤x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[2，+∞）恒成立．令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最小值，由恒成立思想可得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³-2$\sqrt{2}$x²+3x+1的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=3x²-4$\sqrt{2}$x+3=3（x-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）²+$\frac{1}{3}$＞0恒成立，
則f（x）在[0，3]遞增，
即有最小值為f（0）=1，最大值為f（3）=37-18$\sqrt{2}$．
則值域?yàn)閇1，37-18$\sqrt{2}$]；
（2）x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，
即為-2a≤x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[2，+∞）恒成立．
令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，則g′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
即有x≥2時(shí)，g′（x）≥1-$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=0，
則g（x）在[2，+∞）遞增，即有g(shù)（x）的最小值為g（2）=$\frac{15}{4}$，
則-2a≤$\frac{15}{4}$，
解得a≥-$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域的求法和不等式恒成立問(wèn)題的解法，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，屬于中檔題．