Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)向量

a

=(-sinα，2)，

b

=(-2sinα，

1

2

)，

c

=(cos2α，1)，

d

=(1，3)，求滿足不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的α的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，可得x=

m

2

≤1，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，由已知不等式，可得2-cos2α＞cos2α+3，從而可求α的取值范圍為．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)
∴x=

m

2

≤1
∴m≤2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，2]；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∵

a

•

b

=2-2cos2α≥1，

c

•

d

=cos3α+3≥1
∵f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)
∴2-cos2α＞cos2α+3
∴cos2α＜-

1

2

∴kπ+

π

3

＜α＜kπ+

2

3

π(k∈Z)
∴α的取值范圍為kπ+

π

3

＜α＜kπ+

2

3

π(k∈Z)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查求解不等式，解題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式．