Question

7．給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=sin|x|不是周期函數(shù)；
②把函數(shù)f（x）=2sin2x圖象上每個點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，然后再向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到的函數(shù)解析式可以表示為$g（x）=2sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$；
③函數(shù)f（x）=2sin²x-cosx-1的值域是[-2，1]；
④已知函數(shù)f（x）=2cos2x，若存在實數(shù)x₁、x₂，使得對任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$；
其中正確命題的序號為①④（把你認(rèn)為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷．
②根據(jù)三角函數(shù)的平移關(guān)系進(jìn)行判斷．
③根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可．
④根據(jù)三角函數(shù)的對稱性和最值性結(jié)合三角函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①函數(shù)f（x）=sin|x|=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x≥0}\\{-sinx，}&{x＜0}\end{array}\right.$是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f（x）不是周期函數(shù)，故①正確；
②把函數(shù)f（x）=2sin2x圖象上每個點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，得到y(tǒng)=2sin$\frac{1}{2}x$，
然后再向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到的函數(shù)解析式可以表示為y=2sin$\frac{1}{2}（x-\frac{π}{6}）$，故②錯誤；
③函數(shù)f（x）=2sin²x-cosx-1=2（1-cos²x）-cosx-1=-2cos²x-cosx+1
=-2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴當(dāng)cosx=-$\frac{1}{4}$時，函數(shù)取得最大值$\frac{9}{8}$，
當(dāng)cosx=1時，函數(shù)取得最小值-2-1+1=-2，
即函數(shù)的值域是[-2，$\frac{9}{8}$]；故③錯誤．
④若存在實數(shù)x₁、x₂，使得對任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
則f（x₁）為函數(shù)f（x）的最小值，f（x₂）為函數(shù)f（x）的最大值，
則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，故④正確．
故正確的命題是①④，
故答案為：①④．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的內(nèi)容主要是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)的圖象變換，綜合考查三角形的性質(zhì)的應(yīng)用．