A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{5}$ |
分析 延長CO交AB于M,從而$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}$,根據(jù)條件可得到$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$,從而可以得到$\overrightarrow{OM}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$.而根據(jù)A,M,B三點共線便可得出$\overrightarrow{OM}=(1-μ)\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,這樣由平向量基本定理即可得到$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1$,求出λ=1,這說明O為CM的中點,從而便可得出△OAB和△ABC的面積之比為$\frac{1}{2}$.
解答 解:如圖,延長CO,設交AB于M;
由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+7\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得:$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$;
C,O,M三點共線;
∴$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$;
A,M,B三點共線;
∴$\overrightarrow{AM}=μ\overrightarrow{AB}$;
∴$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=μ(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$;
∴$\overrightarrow{OM}=(1-μ)\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$;
∴由平面向量基本定理得:$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1-μ+μ=1$;
∴λ=1;
即$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{CO}$;
∴O為CM中點;
∴$\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{1}{2}$;
∴△OAB和△ABC的面積之比為$\frac{1}{2}$.
故選:C.
點評 考查共線向量基本定理,以及平面向量基本定理,三角形的面積計算公式,向量相等的概念,可記。寒擜,B,C三點共線時,$\overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}$,則x+y=1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
x | |||||
2x | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
f(x)=2sin2x |
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