5.若O為△ABC所在平面內一點,且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,則△OAB和△ABC的面積之比為(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{5}$

分析 延長CO交AB于M,從而$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}$,根據(jù)條件可得到$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$,從而可以得到$\overrightarrow{OM}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$.而根據(jù)A,M,B三點共線便可得出$\overrightarrow{OM}=(1-μ)\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,這樣由平向量基本定理即可得到$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1$,求出λ=1,這說明O為CM的中點,從而便可得出△OAB和△ABC的面積之比為$\frac{1}{2}$.

解答 解:如圖,延長CO,設交AB于M;
由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+7\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得:$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$;
C,O,M三點共線;
∴$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$;
A,M,B三點共線;
∴$\overrightarrow{AM}=μ\overrightarrow{AB}$;
∴$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=μ(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$;
∴$\overrightarrow{OM}=(1-μ)\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$;
∴由平面向量基本定理得:$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1-μ+μ=1$;
∴λ=1;
即$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{CO}$;
∴O為CM中點;
∴$\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{1}{2}$;
∴△OAB和△ABC的面積之比為$\frac{1}{2}$.
故選:C.

點評 考查共線向量基本定理,以及平面向量基本定理,三角形的面積計算公式,向量相等的概念,可記。寒擜,B,C三點共線時,$\overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}$,則x+y=1.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

15.用五點法畫函數(shù)f(x)=2sin2x在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖.
x
2x0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$
f(x)=2sin2x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

16.已知橢圓:C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,一條準線:x=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設O為坐標原點,M是l上的點,F(xiàn)為橢圓C的右焦點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于P,Q兩點.
①若PQ=$\sqrt{6}$,求圓D的方程;
②若M是l上的動點,求證:P在定圓上,并求該定圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

13.已知可行域$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{x+y-\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$的外接圓C與x軸交于A1、A2點,M(1,0).
(1)求圓C的方程;
(2)設P點是圓C上異于A1、A2的動點,過O作直線PM的垂線交L:x=2于Q點,判斷直線PQ與圓C的位置關系并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.如圖,一個四面體木塊ABCD,在△ABC的面內有一點P,要經過點P在平面ABC內畫一條直線l,使l⊥AD,怎樣畫?寫出作法,并給予證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.已知不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-6|對所有實數(shù)x都成立,求a,b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

17.填空:已知ABCD為一個平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O,則
$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$;$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$;
$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CA}$;$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AC}$;
$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{BA}$;$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{AD}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

14.不共面的四點可以確定不同的線段數(shù)為(  )
A.4B.6C.8D.12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

15.${a}^{\frac{1}{4}}$${>a}^{\frac{1}{2}}$,則a的范圍0<a<1.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案