Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝sin x，g(x)＝mx－ (m為實(shí)數(shù)).

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)若m＝1，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜g(x)＋.

Answer 1

【答案】（1）x－y＋1－＝0（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求出得到切線的斜率，求出的值，求得切點(diǎn)坐標(biāo),由直線方程的點(diǎn)斜式得到切線方程；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后討論和分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而求得的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)分別構(gòu)造函數(shù),

然后利用其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,從而證明答案.

試題解析：(1)解　由題意得所求切線的斜率k＝f′＝cos＝.切點(diǎn)P，則切線方程為y－＝.即x－y＋1－＝0.

(2)解　g′(x)＝m－x2.

①當(dāng)m≤0時(shí)，g′(x)≤0，則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，＋∞)；

②當(dāng)m＞0時(shí)，令g′ (x)＜0，解得x＜－或x＞，則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－)，(，＋∞).

(3)證明　當(dāng)m＝1時(shí)，g(x)＝x－ .

令h(x)＝g(x)＋ －f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，

h′(x)＝1－cos x≥0，則h(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù).

故當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)＞h(0)＝0，

即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋ .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.