Question

【題目】如圖，已知梯形與梯形全等， ， ， ， ， ， 為中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面

（Ⅱ）點(diǎn)在線段上(端點(diǎn)除外),且與平面所成角的正弦值為,求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）：設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié),易得四邊形是平行四邊形，有，進(jìn)而可證線面平行；

（Ⅱ）由， 得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 的方向分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)在上，且，求得平面的個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，從而得解.

試題解析：

（Ⅰ）證明：方法一：設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié),因?yàn)?/span>為中點(diǎn),

所以是的中位線， .

由已知，所以，因此四邊形是平行四邊形，

所以.

又平面， 平面，所以平面.

方法二：延長(zhǎng)線段， ，交于點(diǎn)，連結(jié)，由，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以.

又平由， 平面，所以平面.

（Ⅱ）由梯形與梯形全等,

因?yàn)?/span>， ，

所以， .

中， ，

所以.因?yàn)?/span>,

故有,從而,

又因?yàn)?/span>， ,所以平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 的方向分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)在上，且， ， ,

， ，所以，

設(shè)是平面的個(gè)法向量，則

即取

，

故.

設(shè)與平面所成角為，

則，即.

解得， (舍去),故.