Question

如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx(m＞0)的準線與x軸交于F₁，且C₁的焦 點為F₂；以F₁，F(xiàn)₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點為P．
（Ⅰ）是否存在實數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)m，若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）若m=1，直線l經(jīng)過橢圓C₂的右焦點F₂，且與拋物線C₁交于A₁，A₂，以線段A₁A₂為直徑作圓，若圓經(jīng)過點P，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）假設(shè)存在實數(shù)m，在△PF₁F₂中，|PF₁|最長，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1，把P（m-1，4m（m-1））代入橢圓方程求出m值．
（Ⅱ）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R，代入橢圓方程，可得點P的坐標為P（

2

3

，

2 6

3

），將x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0，由圓經(jīng)過點P，可得

PA1

•

PA2

=0，即可求出直線l的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）∵C₁：y²=4mx（m＞0）的右焦點F₂（m，0）
∴橢圓的半焦距c=m，
又e=

1

2

，
∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長b=

3

m，
∴橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
假設(shè)存在實數(shù)m，△PF₁F₂中的邊長是連續(xù)自然數(shù)，則在△PF₁F₂中，|PF₁|最長，|PF₂|最短，
令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1．
由拋物線的定義可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把P（m-1，4m（m-1））代入橢圓

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，解得m=3．
故存在實數(shù)m=3滿足條件．
（Ⅱ）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R
代入橢圓方程，可得點P的坐標為P（

2

3

，

2 6

3

）．
將x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
設(shè)A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韋達定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
∵圓經(jīng)過點P，
∴

PA1

•

PA2

=0，
∴（x₁-

2

3

，y₁-

2 6

3

）•（x₂-

2

3

，y₂-

2 6

3

）=0，
∴-

24k2+24 6 k+11

9

=0，
∴k=

6

12

或

11 6

12

．

點評：本題考查拋物線和橢圓的標準方程和簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查向量知識的運用，綜合性較強，屬于中檔題．