Question

己知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．
（1）試探究函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；
（2）若f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0）B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，AB中點為C（x₀，0），設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），求證：f′（x₀）＜0．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)零點的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）中，通過對f（x）求導(dǎo)，研究f（x）的單調(diào)性及最值，從而利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷零點的個數(shù)；
（2）將A、B兩點代入到f（x）中，即

f(x1)=0 f(x2)=0

，解出a=

lnx1-lnx2

x1-x2

，然后寫出f'（x₀）的表達式，即用x₁，x₂ 表示f'（x₀），f'（x₀）=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]，再令

x1

x2

=t∈(0，1)，研究h(t)=

2(t-1)

t+1

-lnt的性質(zhì)，從而證明f'（x₀）的正負．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，
令f'（x）＞0，則0＜x＜

1

a

；令f'（x）＜0，則x＞

1

a

．
∴f（x）在x=a時取得最大值，即f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

①當ln

1

a

＞0，即0＜a＜1時，考慮到當x無限趨近于0（從0的右邊）時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→-∞
∴f（x）的圖象與x軸有2個交點，分別位于（0，

1

a

）及（

1

a

，+∞）
即f（x）有2個零點；
②當ln

1

a

=0，即a=1時，f（x）有1個零點；
③當ln

1

a

＜0，即a＞1時f（x）沒有零點；
（2）由

f(x1)=0⇒lnx1-ax1+1=0， f(x2)=0⇒lnx2-ax2+1=0，

得a=

lnx1-lnx2

x1-x2

（0＜x₁＜x₂），f′(x0)=

1

x0

-a=

2

x1+x2

-a=

2

x1+x2

-

lnx1-lnx2

x1-x2

=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]，令

x1

x2

=t∈(0，1)，設(shè)h(t)=

2(t-1)

t+1

-lnt，t∈（0，1）且h（1）=0
則h′(t)=

4

(t+1)2

-

1

t

=

-(t-1)2

(t+1)2t

，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0
即

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

＞0，又

1

x1-x2

＜0，
∴f'（x₀）=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]＜0．

點評：本題在導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中屬于難題，題目中的兩個小問都有需要注意之處，如（1）中，在對0＜a＜1進行研究時，一定要注意到f（x）的取值范圍，才能確定零點的個數(shù)，否則不能確定．（2）中，代數(shù)運算比較復(fù)雜，特別是計算過程中，令

x1

x2

=t的化簡和換元，使得原本比較復(fù)雜的式子變得簡單化而可解，這對學(xué)生的綜合能力有比較高的要求．