Question

設(shè)f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，f（x）≤3，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由 f（x）≤3解得a-3≤x≤a+3，由題意可得

a-3≤-1 a+3≥3

，由此解得a的范圍．
（Ⅱ）利用基本不等式求得f（x-a）+f（x+a）的最小值為2|a|，結(jié)合題意可得2|a|≥1-2a，解得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ） f（x）≤3，即|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
由題意可得

a-3≤-1 a+3≥3

，
解得 0≤a≤2，即a的范圍是[0，2]．
（Ⅱ）f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|≥|（x-2a）-x|=2|a|，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-2a）x≤0時(shí)，等號(hào)成立．
結(jié)合題意可得2|a|≥1-2a，
解得a≥

1

4

，故a的最小值為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．