Question

函數(shù)f（x）=2sin（πx）-

1

1-x

，x∈[-2，4]的所有零點之和為

 

．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：設t=1-x，則x=1-t，原函數(shù)可化為g（t）=2sinπt-

1

t

，由于g（x）是奇函數(shù)，觀察函數(shù)y=2sinπt與y=

1

t

的圖象可知，在[-3，3]上，兩個函數(shù)的圖象有8個不同的交點，其橫坐標之和為0，從而 x₁+x₂+…+x₇+x₈的值．

解答： 解：設t=1-x，則x=1-t，原函數(shù)可化為：
g（t）=2sin（π-πt）-

1

t

=2sinπt-

1

t

，其中，t∈[-3，3]，
因g（-t）=-g（t），
故g（t） 是奇函數(shù)，觀察函數(shù) y=2sinπt（紅色部分）
與曲線y=

1

t

 （藍色部分）的圖象可知，
在t∈[-3，3]上，兩個函數(shù)的圖象有8個不同的交點，
其橫坐標之和為0，即t₁+t₂+…+t₇+t₈=0，
從而x₁+x₂+…+x₇+x₈=8，
故答案為：8．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的零點與方程的根的關系，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．