Question

若直線l與橢圓C：

x2

3

+y2=1交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分當AB⊥x軸時與AB與x軸不垂直時求出|AB|．當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，由坐標原點O到直線l的距離為

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化為m2=

3

4

(k2+1)．同時與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數的關系，利用弦長公式即可得出|AB|．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當AB⊥x軸時，∵坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，
∴可取A(

3

2

，y1)，代入橢圓得

( 3 2 )2

3

+

y

2 1

=1，解得y1=±

3

2

．
∴|AB|=

3

．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，
由坐標原點O到直線l的距離為

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化為m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入橢圓方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3m2-1

3k2+1

．
∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

．
當k≠0時，|AB|2=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4，當且僅當k2=

1

3

時取等號，此時|AB|=2．
當k=0時，|AB|=

3

．綜上可知：|AB|_max=2．△OAB的面積最大值為=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點評：熟練掌握直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數的關系、弦長問題、三角形的面積、點到直線的距離公式、分類討論的思想方法的方法等是解題的關鍵．