Question

已知{a_n}為公差不為0的等差數(shù)列，a₁=3，且a₁、a₄、a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₁、a₄、a₁₃成等比數(shù)列可得關(guān)于d的方程，解出d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿa_n，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用錯位相減法，求前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，由題意得（3+3d）²=3（3+12d），得d=2或d=0（舍），…（2分）
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3+（n-1）•2=2n+1…（4分）
（Ⅱ）bn=2nan=(2n+1)2nSn=3•21+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n…①
…2Sn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1②…（6分）
①-②得-Sn=3•21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+1)•2n+1…（8分）

=2+2• 2(1-2n) 1-2 -(2n+1)•2n+1 =-2-(2n-1)•2n+1

…（10分）
∴Sn=(2n-1)•2n+1+2…（12分）

點(diǎn)評：該題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查錯位相減法，屬于中檔題．